תפריט
האם 9 מתחלק בגורם הראשוני הקטן ביותר (2)? לא. הוא לא זוגי, לא מסתיים ב 2,4,6,8,0
האם 9 מתחלק בגורם הראשוני הבא, 3? כן. סכום הספרות של 9 הוא 3,6, או 9 . כלומר 9.
אם נחלק את 9 בגורם הראשוני 3, מה נקבל?
תוצאת החילוק 9:3 היא מספר ראשוני, 3.
המכפלה 3×3=9 ניתנת להצגה כחזקה. להתייעץ עם הילד אם התרגיל מתאים להצגה כחזקה או לא, וכן גם לגבי תרגילים שלא מתאימים בהמשך הפירוק, כמו 3×5.
אלה התרגילים שקיבלנו. 3×3=9 9:3=3 לאחר הפירוק יש לכתוב את כל התרגילים האפשריים מתחת לשרטוט של הפירוק לגורמים.
המספר 3 מופיע בתרגיל הכפל 2 פעמים 9 = 32
האם 10 מתחלק בגורם הראשוני הקטן ביותר (2)? כן, הוא מסתיים ב 0,2,4,6,8. כלומר באפס, זה מתאים לסימן.
תוצאת החילוק 10:2=5 5 הוא מספר ראשוני שאי אפשר לחלק אותו עוד.
אלה התרגילים האפשריים, תוך שימוש בחוק החילוף של הכפל. האם אפשר לכתוב אחד התרגילים כחזקה?
5×2=10 2×5=10 10:2=5 10:5=2
11 הוא מספר ראשוני. מתחלק רק בעצמו ובאחד. לא מתחלק ב 2, אינו זוגי (ספרת האחדות אינה 2,4,6,8,0). לא מתחלק ב 3, סכום הספרות אינו 3,6,9 . לא מתחלק ב 5, ספרת האחדות אינה 0,5. 11 אינו אחת מכפולות 7. כך בודקים לגבי הגורמים הראשוניים, שוללים אותם כמחלקים ומוצאים ש 11 הוא ראשוני.
האם 12 מתחלק בגורם הראשוני הקטן ביותר, 2? כן, הוא זוגי. 6=12:2
ואת 6 ניתן להוסיף ולחלק.
מקיפים את התוצאות שבסוף "הענפים". מכפלת הגורמים האלה תיתן את המספר. אלה הגורמים הראשוניים הקטנים ביותר שלו. 2 x 2 x 3 = 12 אנחנו מעוניינים בכמה שיותר תרגילים אפשריים ולכן נפעיל את חוק הקיבוץ, שלפיו בתרגיל שהוא רק כפל או חיבור מותר לשים סוגריים איפה שרוצים. נשים סוגריים במקומות שונים, נבצע קודם את התרגיל בתוך הסוגריים ונקבל תרגילי כפל שונים שתוצאתם 12.
2 x (2×3) = 2×6 = 12
(2×2) x 3 = 4×3 = 12
ומכאן ש 3=12:4, 4=12:3
אפשר גם להחליף מקום בין מספרים בתרגיל כפל עפ"י חוק החילוף ומקבלים
(2×3)x2=6×2=12
התרגילים הנוספים שאפשר להסיק מהפירוק לגורמים הם:
6=12:2
2=12:6
קיבלנו הרבה תרגילים שונים. זה מתאים לכל כפולות 6 ו- 12 אולי בגלל שבעבר לספר 6 היתה חשיבות מיוחדת.
אני קוראת למספרים כאלה, כמו 24, 36 – מספרי צומת. יש הרבה גורמים, הרבה תרגילי כפל אפשריים.
2x2x3=12
4×3=12
3×4=12
2×6=12
6×2=12
4=12:3
3=12:4
6=12:2
2=12:6
ואין אפשרות לחזקה
13 האם מתחלק בשתיים? לא לפי הסימנים. מתחלק בשלוש? לא לפי הסימנים של החילוק בשלוש. לא מתחלק בחמש, שבע ואחת עשרה. אם כן, הוא ראשוני. מסמנים בעיגול וממשיכים.
14 האם 14 מתחלק בשתיים? כן, הוא זוגי. מסתיים בארבע בספרת האחדות.
תוצאת החילוק ב- 2 היא מספר ראשוני, 7.
אני לא כותבת את השרטוט אבל במחברת – צריך.
התרגילים הם: 2×7=14
7×2=14
7=14:2
2=14:7
15 האם 15 מתחלק בגורם הראשוני הקטן ביותר, 2? לא, הוא אינו זוגי.
נמשיך לבדוק עם הגורם הראשוני הבא אחרי שתיים. האם 15 מתחלק בשלוש? נבדוק. האם סכום הספרות של 15 הוא 3 או 6 או 9? כן. אם כך, מתחלק בשלוש. נשרטט קו מ- 15, נכתוב 3 למטה בצד שמאל. מחלקים את 15 בגורם שמצאנו. 15:3
תוצאת החילוק היא מספר ראשוני, 5. לא ממשיכים לפרק לגורמים.
3×5=15, 5×3=15, 15:3=5 15:5=3
16
האם 16 מתחלק בשתיים? כן, הוא מספר זוגי. תוצאת החילוק היא מספר שניתן להמשיך ולפרק. אם שמונה מתחלק בשתיים? מתחילים לבדוק בגורם הראשוני הקטן ביותר. אם הוא לא מתאים – ממשיכים לגורם הבא.
מקיפים את המספרים שבקצות הענפים. מכפלת הגורמים תיתן את המספר שרצינו לפרק.
2 x 2 x 2 x 2 = 16
חוק הקיבוץ: ע"י הצבת סוגריים במקומות שונים בתרגיל, נמצא תרגילי כפל נוספים שתוצאתם 16.
(2×2) x (2×2) = 4×4 =16
(2x2x2) x 2= 8×2 =16
24 =16
וכן תרגילי החילוק הנובעים מתרגילי הכפל.
16:2=8, 16:8=2, 16:4=4
וסתם ככה גם 1=16:16 16=16:1, כדי לבדוק אם לא נשתכח נושא זה.
22 x 22 = 22+2 = 24 = 16
16 הוא 24 שתיים בחזקת ארבע, אך גם ארבע בחזקת שתיים, 2 4 ארבע בריבוע. כשכופלים מספר בסיס של חזקה (המספר הגדול התחתון) באותו מספר, שיש לו מעריך חזקה שונה,
(מופיע מספר פעמים שונה בתרגיל כפל) אפשר לחבר את שני מעריכי החזקות ולקבל מעריך חזקה חדש. זוהי הטרמה לחוקי חזקות, מי שלא הבין לא נורא. החומר ילמד בכיתה גבוהה יותר ואז ישמעו עליו בפעם השניה והקליטה תהיה טובה יותר.
המספר 17, אם נערוך בדיקה נמצא שאינו מתחלק ב 2,3,5,7,11,13 ולכן הוא ראשוני.
האם 18 ראשוני? נבדוק. האם הוא מתחלק בשתיים? כן, הוא זוגי ומסתיים ב- 8. אם כך הוא לא ראשוני. האם 9, תוצאת החילוק ב- 2, היא ראשונית? האם ניתן לחלק את 9 בשתיים? לא. האם ניתן לחלק בשלוש? כן. אם כך תוצאת החילוק 18:2=9 היא לא ראשונית. האם תוצאת החילוק של 9 בשלוש ראשונית? כן.
התרגילים מהפירוק הם: 2x3x3=18
לפי חוק הקיבוץ מקבלים (2×3) x 3 = 6 x 3 = 18
וגם 2x(3×3)=2×9=18 והתרגיל ההפוך 9×2=18
תרגילי החילוק הנגזרים מתרגילי הכפל הם:
18:2 = 9 18:9=2 18:6 = 3 18:3 = 6
האם 19 ראשוני? כן. (הילד בודק אם המספר מתחלק בגורמים הראשוניים, כדי להגיע למסקנה זו).
האם 20 ראשוני? אני עושה הפסקה. כדאי להמשיך ולתרגל במשך כמה שיעורים, בתחילה המורה מבצע הכל והילד רואה, (חוויה מפחידה לילד).
אחר כך המורה והילד עושים יחד. בשיעור אחרי זה הילד מבצע לבד ורואה שהחומר בעצם קל ולא מפחיד. מעבר על המספרים בין 1 למאה והניסיון לברר אם הם ראשוניים או לא, והניסיון למצוא את מירב תרגילי הכפל והחילוק המתאימים לאותו מספר – יביאו לשליטה טובה מאד בלוח הכפל ויכולת התמצאות והערכה של מספרים – מהם גורמי החילוק האפשריים עבורם. לדוגמה, כאשר נראה את המספר 45, הילד יוכל לדעת שמספר זה מתחלק בחמש וגם בתשע ובשלוש, על פי סימני החילוק שהוא מיישם ומתנסה בהם בפירוק לגורמים.
בעזרת חוק הקיבוץ והחילוף ניתן להגיע מהפירוק לגורמים – לכל התרגילים המתאימים למספר.
אולי העניין של הפירוק לגורמים נראה מייגע ומכביד, אבל ילד שלמד את הפירוק לגורמים במשך כמה שיעורים, 2 שיעורים עם המבוגר ועוד 4 שיעורים בעצמו – השתלט על הכפל ועל החילוק. שווה להתאמץ ולנסות להבין מה כתוב כאן.
התרגילים 20 הם: (הילד חייב למצוא את התרגילים ולא המבוגר, אחרת אין תועלת בעבודה. בשלבים הראשונים המבוגר עושה הכל אבל אז חוזרים שוב על אותם תרגילים, מבצעים אותם יחד. בפעם השלישית הילד מבצע בעצמו ואז מתרחש הלימוד האמיתי.)
2x2x5 = 20
לפי חוק הקיבוץ:
2×2)X5= 4×5=20)
2x (2×5) = 2×10 = 20
התרגילים המתחלפים 5×4=20, 10×2= 20
ותרגילי החילוק שכדאי להדגים אותם גם באמצעות הבדידים – הילד מדגים.
20:2=10, 20:10=2, 20:5=4, 20:4=5
